Интегральное Исчисление
Интегральное Исчисление в Энциклопедическом словаре:
Интегральное Исчисление - раздел математики, в котором изучаются свойстваи способы вычисления интегралов и их приложения к решению различныхматематических, физических и других задач. В систематической формеинтегральное исчисление было предложено в 17 в. И. Ньютоном и Г.Лейбницем. Интегральное исчисление тесно связано с дифференциальнымисчислением; интегрирование (нахождение интеграла) есть действие, обратноедифференцированию: по данной непрерывной функции f(x) ищется функция F(x)(первообразная), для которой f(x) является производной. Вместе с F(x)первообразной функцией для f(x) является и F(x) + C, где С - любаяпостоянная. Общее выражение F(x) + C первообразных непрерывной функцииf(x) называется неопределенным интегралом; он обозначается.Определенныминтегралом непрерывной функции f(x) на отрезке ИНТЕГРАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ -уравнение, содержащее неизвестную функцию под знаком интеграла.
Определение «Интегральное Исчисление» по БСЭ:
Интегральное исчисление - раздел математики, в котором изучаются свойства и способы вычисления интегралов и их приложения. И. и. тесно связано с дифференциальным исчислением и составляет вместе с ним одну из основных частей математического анализа (или анализа бесконечно малых). Центральными понятиями И. и. являются понятия определённого интеграла и неопределённого интеграла функций одного действительного переменного.
Определённый интеграл. Пусть требуется вычислить площадь S «криволинейной трапеции» - фигуры ABCD (см. рис.), ограниченной дугой непрерывной линии, уравнение которой y = ƒ(x), отрезком AB оси абсцисс и двумя ординатами AD и BC. Для вычисления площади S этой криволинейной трапеции основание AB (отрезок [a, b]) разбивают на n участков (необязательно равных) точками а = x0 < x1 <... < xn−1 < < xn = b, обозначая длины этих участков
Δx1, Δx2, ..., Δxn; на каждом таком участке строят прямоугольники с высотами ƒ(ξ1), ƒ(ξ2), ..., ƒ(ξn) где
ξk - некоторая точка из отрезка [xk−1, xk] (на рис. заштрихован прямоугольник, построенный на k-м участке разбиения; ƒ(ξk) - его высота). Сумма Sn площадей построенных прямоугольников рассматривается в качестве приближения к площади S криволинейной трапеции:
S ≈ Sn = ƒ(ξ1) Δx1 + ƒ (ξ2) Δx2 + ƒ(ξn) Δxn
или, применяя для сокращения записи символ суммы Σ (греческая буква «сигма»):
Указанное
выражение для площади криволинейной трапеции тем
точнее, чем
меньше длины Δx
k участков разбиения. Для
нахождения точного
значения площади S надо
найти предел сумм S
n в
предположении, что
число точек деления неограниченно увеличивается и наибольшая из длин Δx
k стремится к нулю.
Отвлекаясь от геометрического
содержания рассмотренной задачи, приходят к понятию определённого интеграла от
функции ƒ(x), непрерывной на отрезке [а, b], как к пределу интегральных сумм S
n при том же предельном
переходе. Этот интеграл обозначается
ƒ(x) dx.
Символ ∫
(удлинённое S -
первая буква
слова Summa) называется знаком интеграла, ƒ(x) - подинтегральной функцией,
числа а и b называются нижним и верхним пределами определённого интеграла. Если a = b, то, по
определению, полагают
кроме того,
b ∫ a | ƒ(x) dx = − | a ∫ b | ƒ(x) dx.
|
Свойства определённого интеграла:
ƒ
1(x) dx ± ƒ
2(x) dx =
ƒ
1(x) dx ± ƒ
2(x) dx
kƒ(x) dx =
kƒ(x) dx
(k - постоянная).
Очевидно также, что
ƒ(x) dx =
ƒ(t) dt
(численное значение определённого интеграла не зависит от выбора
обозначения переменной интегрирования).
К вычислению определённых интегралов сводятся задачи об
измерении площадей, ограниченных кривыми (задачи «нахождения квадратур»), длин дуг кривых («спрямление кривых»), площадей поверхностей тел, объёмов тел («нахождение кубатур»),
а также задачи определения координат центров тяжести, моментов инерции, пути тела по
известной скорости
движения, работы, производимой
силой, и
многие другие задачи
естествознания и техники.
Например, длина дуги плоской
кривой, заданной уравнением y = ƒ(x) на отрезке [a, b], выражается интегралом
объём тела, образованного вращением этой дуги
вокруг оси Ox, - интегралом
поверхность этого тела - интегралом
Фактическое вычисление определённых интегралов осуществляется различными способами. В отдельных случаях
определённый интеграл
можно найти, непосредственно
вычисляя предел соответствующей интегральной суммы.
Однако большей
частью такой переход к пределу затруднителен.
Некоторые определённые интегралы удаётся
вычислять с помощью предварительного
отыскания неопределённых интегралов (см.
ниже). Как
правило же, приходится
прибегать к приближённому вычислению определённых интегралов, применяя
различные Квадратурные
формулы (например, трапеций формулу,
Симпсона формулу).
Такое приближённое вычисление
может быть
осуществлено на ЭВМ с
абсолютной погрешностью, не превышающей любого заданного малого положительного числа. В случаях, не требующих
большой точности, для приближённого вычисления определённых интегралов применяют
графические методы (см.
Графические вычисления).
Понятие определённого интеграла распространяется на
случай неограниченного промежутка
интегрирования, а также на
некоторые классы неограниченных функций. Такие
обобщения называются несобственными интегралами.
Выражения вида
φ(α) = ƒ(x, α),
где
функция ƒ(x, α) непрерывна по x, называются интегралами, зависящими от параметра. Они служат основным средством
изучения многих специальных функций (см., например, Гамма-функция).
Неопределённый интеграл.
Нахождение неопределённых интегралов, или интегрирование, есть
операция, обратная дифференцированию. При дифференцировании данной функции ищется её
производная. При интегрировании,
наоборот, ищется
первообразная (или примитивная) функция - такая функция, производная которой равна данной функции.
Таким образом, функция F (x) является
первообразной для данной функции ƒ(x), если F(x) = ƒ(x) или, что то же самое, dF(x) = ƒ(x) dx.
Данная функция ƒ(x) может
иметь различные
первообразные, но все они отличаются друг от друга
только постоянными слагаемыми.
Поэтому все первообразные для ƒ(x) содержатся в выражении F (x) + C, которое называют неопределённым интегралом от функции ƒ(x) и записывают
∫ƒ(x) dx = F(x) + C.
Определённый интеграл как функция верхнего предела интегрирования
(«интеграл с переменным верхним пределом»), есть одна из первообразных подинтегральной функции. Это позволяет
установить основную формулу И. и. (формулу Ньютона - Лейбница):
x ∫ a | ƒ(u) du = F(x) − F(a),
|
выражающую
численное значение определённого интеграла в виде разности значений какой-либо первообразной подинтегральной функции при верхнем и нижнем пределах интегрирования.
Взаимно
обратный характер операций интегрирования и дифференцирования выражается равенствами
d∫ƒ(x)dx = ƒ(x)dx; ∫dF(x) = F(x)+C.
Отсюда следует
возможность получения из формул и правил дифференцирования соответствующих формул и правил интегрирования (см. табл., где C, m, a, k - постоянные и m ≠ −1, a > 0).
Таблица основных интегралов и правил интегрирования
| xmdx | = | xm+1
m+1 | +C;
|
| | dx
x | = | ln|x| | +C;
|
| axdx | = | ax
ln a | +C и
| | exdx | = | ex | +C;
|
| sin x dx | = | −cos x | +C;
| | cos x dx | = | sin x | +C;
|
| dx
sinІx | = | −ctg x | +C;
| | dx
cosІx | = | tg x | +C;
|
| dx
1+xІ | = | arctg x | +C;
| | dx
√(1−xІ) | = | arcsin x | +C;
|
[ƒ
1(x)dx ± ƒ
2(x)]dx = ƒ
1(x)dx ± ƒ
2(x)dx ;
kƒ(x)dx = kƒ(x)dx ;
udv = uv − vdu ;
если x = φ(t), то dx = φ′(t)dt и
ƒ(x)dx = [ƒ(φ(t)]φ′(t)dt.
Трудность И. и. по
сравнению с дифференциальным исчислением заключается в том, что интегралы от элементарных функций не
всегда выражаются
через элементарные, могут не
выражаться, как говорят, «в конечном виде». И. и. располагает лишь отдельными приёмами интегрирования в конечном виде,
область применения каждого из которых ограничена (способы интегрирования излагаются в учебниках математического анализа:
обширные таблицы интегралов приводятся во многих справочниках).
К классу функций, интегралы от которых всегда выражаются в элементарных функциях, принадлежит множество всех рациональных функций
где P(x) и Q(x) - многочлены.
Многие функции, не являющиеся рациональными, также интегрируются в конечном виде, например функции, рационально зависящие от √(axІ+bx+c) и x,
или же от x и рациональных степеней дроби
В конечном виде интегрируются и многие трансцендентные функции, например рациональные функции синуса и косинуса.
Функции, которые изображаются неопределёнными интегралами, не берущимися в конечном виде, представляют
собой новые трансцендентные функции. Многие из них
хорошо изучены (см., например,
Интегральный логарифм, Интегральный
синус и
интегральный косинус, Интегральная показательная функция).
Понятие интеграла распространяется на функции многих действительных переменных (см.
Кратный интеграл, Криволинейный интеграл, Поверхностный интеграл), а также на функции комплексного переменного (см.
Аналитические функции) и
вектор-функции (см. Векторное исчисление).
О
расширении и обобщении понятия интеграла см. ст. Интеграл.
Историческая
справка. Возникновение задач И. и. связано с нахождением площадей и объёмов. Ряд задач
такого рода был решен математиками Древней Греции. Античная
математика предвосхитила идеи И. и. в
значительно большей степени, чем дифференциального исчисления. Большую роль при решении таких задач играл
Исчерпывания метод, созданный Евдоксом Книдским и
широко применявшийся Архимедом. Однако
Архимед не выделил общего содержания интеграционных приёмов и понятия об интеграле, а тем
более не создал алгоритма И. и. Учёные Среднего и Ближнего Востока в 9-15 вв. изучали и переводили
труды Архимеда на
общедоступный в их среде арабский язык, но
существенно новых результатов в И. и. они не получили.
Деятельность европейских учёных в это
время была ещё более
скромной. Лишь в 16 и 17 вв.
развитие естественных наук поставило
перед математикой Европы ряд новых задач, в
частности задачи на нахождения квадратур, кубатур и определение центров тяжести.
Труды Архимеда,
впервые изданные в 1544 (на латинском и греческом языках), стали
привлекать широкое внимание, и их изучение явилось
одним из важнейших отправных пунктов дальнейшего развития И. и. Античный
«неделимых» метод был возрожден И. Кеплером. В более общей форме идеи этого
метода были развиты Б.
Кавальери, Э.
Торричелли, Дж. Валлисом, Б. Паскалем. Методом «неделимых»
был решен ряд геометрических и механических задач. К этому же времени относятся
опубликованные позднее работы П.
Ферма по квадрированию парабол n-й степени, а
затем - работы Х. Гюйгенса по
спрямлению кривых.
В итоге этих
исследований выявилась
общность приёмов интегрирования при решении
внешне несходных задач геометрии и
механики, приводившихся к квадратурам как к геометрическому
эквиваленту определённого интеграла. Заключительным звеном в цепи
открытий этого периода было
установление взаимно обратной связи между задачами на
проведение касательной и на
квадратуры, т. е. между дифференцированием и интегрированием. Основные понятия и
алгоритм И. и. были созданы независимо друг от друга И. Ньютоном и Г. Лейбницем. Последнему принадлежит термин
«интегральное исчисление» и обозначение интеграла ∫ydx.
При этом в работах Ньютона основную роль играло
понятие неопределённого интеграла (флюенты, см. Флюксий исчисление),
тогда как
Лейбниц исходил из понятия определённого интеграла.
Дальнейшее развитие И. и. в 18 в. связано с именами И.
Бернулли и
особенно Л. Эйлера. В начале 19 в. И. и. вместе с дифференциальным исчислением было
перестроено О. Коши на основе теории пределов. В развитии И. и. в 19 в. приняли
участие русские математики М. В.
Остроградский, В. Я.
Буняковский, П. Л.
Чебышев. В
конце 19 - начале 20 вв. развитие теории множеств и теории функций действительного переменного привело к
углублению и обобщению основных понятий И. и. (Б.
Риман, А.
Лебег и др.).
Лит.:
История. Ван дер
Варден Б. Л., Пробуждающаяся
наука, пер. с голл., М., 1959; Вилейтнер Г., История математики от Декарта до середины 19
столетия, пер. с нем., 2 изд., М., 1966; Строек Д. Я.,
Краткий очерк истории математики, пер. с нем., 2 изд., М., 1969; Cantor М.. Vorleslingen
ьber Geschichte der Mathematik, 2 Aufl., Bd 3-4, Lpz. - B., 1901-24.
Работы основоположников и классиков И. и.
Ньютон И.,
Математические работы, пер. с
латин., М.-Л., 1937; Лейбниц Г., Избранные отрывки из математических
сочинений, пер. с. латин., «Успехи математических наук», 1948, т. 3, в. 1;
Эйлер Л., Интегральное исчисление, пер. с латин., тт. 1-3, М., 1956-58; Коши О. Л., Краткое
изложение уроков о дифференциальном и интегральном исчислении, пер. с
франц., СПБ, 1831; его же,
Алгебраический анализ, пер. с франц.,
Лейпциг, 1864.
Учебники и учебные
пособия по И. и.
Хинчин Д. Я., Краткий курс математического анализа, 3 изд., 1957;
Смирнов В. И., Курс высшей математики, 22 изд., т. 1, М., 1967; Фихтенгольц Г. М., Курс дифференциального и интегрального исчисления, 7 изд., т. 2, М., 1969;
Ильин В.,
Позняк Э. Г.,
Основы математического анализа, 3 изд., ч. 1, М., 1971;
Курант Р., Курс дифференциального и интегрального исчисления, пер. с нем. и англ., 4 изд., т. 1, М., 1967; Двайт Г.-Б., Таблицы интегралов и другие
математические формулы, пер. с англ., М., 1964.
Под редакцией академика А. Н. Колмогорова.
Рис. к ст. Интегральное исчисление.
Интегральная Схема
Интегральное Исчисление
Интегральный