Кольцо
Значение слова Кольцо по Ефремовой:
Кольцо - 1. Предмет в форме обода, окружности (обычно из металла или какого-л. другого твердого материала). // Предмет такой формы (обычно из драгоценного металла), надеваемый на палец руки в качестве украшения или символа брака.
2. Любой предмет, имеющий форму замкнутого круга или напоминающий ее. // перен. разг. Конечный пункт трамвайного, троллейбусного, автобусного маршрута (обычно с поворотным кругом для следования в обратном направлении).
3. Слой древесины, ежегодно нарастающий на стволе некоторых деревьев.
4. перен. Окружение, осада.
Значение слова Кольцо по Ожегову:
Кольцо - Предмет в форме окружности, ободка из твердого материала
Кольцо То, что имеет форму окружности, обода. (слой,
ежегодно нарастающий в стволе дерева). (поворотный
круг на трамвайных путях)
Кольцо Положение, когда кто-нибудь окружен чем-чем-нибудь, замкнут
круговой линией чего-нибудь
Кольцо Украшение такой формы, надеваемое на
палец
Кольцо в Энциклопедическом словаре:
Кольцо - понятие современной алгебры. Кольцо - совокупность элементов, длякоторых определены операции сложения, вычитания и умножения, обладающиеобычными свойствами операций над числами. Напр., кольцо целых чисел.
Значение слова Кольцо по словарю мер:
Кольцо - Единица мер Древнего Востока = 9,1 грамм.
Значение слова Кольцо по словарю Символизма:
Кольцо - До некоторой степени разделяет символическое значение круга в аспекте вечности, непрерывности, божественности жизни. Означает могущество, достоинство, высшую власть, силу, защиту, делегированную власть, завершенность, цикличность времени. Кольцо отождествляется с личностью. Даровать кольцо значит наделить властью, связать себя словом, приобщить к качествам данной личности. Кроме того, кольцо несет символизм связи и уз: обручальное кольцо связывает обещанием нового союза. Голова зверя или чудовища с кольцом в пасти олицетворяет стража на пути: раскрытая пасть - это врата смерти, а кольцо - путь, узкие врата (см. проход), или дверь избавления. Дверное кольцо, замковый камень арки, ручка урны - все это символы входа или прохода. В Китае кольцо символизирует вечность, источник творения, власть, высокое положение. Целое кольцо означает приятие, благосклонность; сломанное - амбивалентно и олицетворяет либо отвержение и неблагосклонность, либо (например, хранимые в разных местах половинки одного кольца) заключенный контракт или возобновление дружбы. Кольцо, посланное императором, означало приказ вернуться ко двору; половинка кольца - изгнание и ссылку. В христианстве кольцо символизирует вечность, союз, духовный брак с Церковью. Кольцо указывают на сан его обладателя. Сапфир в кольце кардинала или епископа - это знак жениха Церкви. Новоизбранный Папа носит Кольцо Рыбаря - эмблему апостола Петра. Коронационное кольцо в Великобритании - знак королевского достоинства и защиты католической веры. Эмблема святого Эдуарда Исповедника. В Египте происхождение символики кольца и жезла неизвестно, но считается, что оно олицетворяет axis mundi и вращение вселенной; вечность. В индуизме огненное кольцо вокруг Шивы символизирует космический цикл творения и разрушения. В шумеро-семитской традиции кольцо, а чаще три кольца, являются божественным атрибутом (его носят все боги) и символом царского достоинства наряду с короной, скипетром и серпом.
Значение слова Кольцо по словарю синонимов:
Кольцо - перстень
Значение слова Кольцо по словарю Ушакова:
КОЛЬЦО
кольца, мн. кольца, колец, кольцам, ср. 1. предмет (чаще всего из металла) в форме обода, круга, с пустым пространством внутри линии круга. Кольцо для ношения ключей. Взявшись за кольцо, я открыл калитку. Гимнастические упражнения на кольцах. || предмет этой формы, металлический ободок, надеваемый на пальцы рук в качестве украшения или символа брака. Кольцо с брильянтом. Золотое кольцо. Обручальное кольцо. 2. Всё, имеющее форму такого предмета, напоминающее своим видом такой предмет. Локоны, завитые в кольца. Свернуться кольцом. Пускать дым кольцами.
Значение слова Кольцо по словарю Даля:
Кольцо
ср. колечко, кольчико; кольчище, кольчишко; обод. обруч, круг с проемом, дырой; окружность, круглая рамка. Кольцо на палец, бывает гладкое, без насадки; перстень со щитком, с каменьями. Обручальное, венчальное кольцо, которым, по общем
Определение слова «Кольцо» по БСЭ:
Кольцо - алгебраическое, одно из основных понятий современной алгебры. Простейшими примерами К. могут служить указанные ниже системы (множества) чисел, рассматриваемые вместе с операциями сложения и умножения: 1) множество всех целых положительных, отрицательных чисел и нуля; 2) множество всех чётных чисел и вообще целых чисел, кратных данному числу n, 3) множество всех рациональных чисел. Общим в этих трёх примерах является то, что сложение и умножение чисел, входящих в систему, не выводят за пределы системы (следует отметить, что и вычитание не выводит за пределы системы). В различных областях математики часто приходится иметь дело с разнообразными множествами (они могут состоять, например, из многочленов или матриц, см. примеры 7 и 9), над элементами которых можно производить две операции, весьма похожие по своим свойствам на сложение и умножение обычных чисел. Предметом теории К. является изучение свойств обширного класса такого рода множеств.
Кольцом называют непустое множество R, для элементов которого определены две операции - сложение и умножение, сопоставляющие любым двум элементам а, b из R, взятым в определённом порядке, один элемент а + b из R - их сумму и один элемент ab из R - их произведение, причём предполагаются выполненными следующие условия (аксиомы К.):
I. Коммутативность сложения:
a+b=b+a.
II. Ассоциативность сложения:
a + (b + c) = (a + b) + c.
III. Обратимость сложения (возможность вычитания):
уравнение a + x = b допускает решение x = b−a.
IV. Дистрибутивность:
a (b + c) = ab+ac, (b + c) а = ba + са.
Перечисленные свойства показывают, что элементы К. образуют коммутативную группу относительно сложения. Дальнейшими примерами К. могут служить множества; 4) всех действительных чисел;
5) всех комплексных чисел;
6) комплексных чисел вида a + bi с целыми a, b;
7) многочленов от одного переменного x с рациональными, действительными или комплексными коэффициентами;
8) всех функций, непрерывных на данном отрезке числовой прямой;
9) всех квадратных матриц порядка n с действительными (или комплексными) элементами;
10) всех кватернионов;
11) всех чисел Кэли - Диксона, то есть выражений вида α + βe, где α, β - кватернионы, e - буква; сложение и умножение чисел Кэли - Диксона определяются равенствами (α + βe) + (α1 + β1e) = (α + α1) + (β + β1) e, (α + βe)(α1 + β1e) = (αα1 - βЇβ1) + (αα1 + βα1Ї)e, где αЇ - кватернион, сопряжённый к α;
12) всех симметрических матриц порядка n с действительными элементами относительно операций сложения матриц и «йорданового» умножения а∙b = 1 ⁄ 2(аb + ba); 13) векторов трёхмерного пространства при обычном сложении и векторном умножении.
Во многих случаях на умножение в К. налагаются дополнительные ограничения. Так, если а (bc) = (ab) c, то К. называют ассоциативным (примеры 1-10); если в К. выполняются равенства (aa) b = a (ab), (ab) b = a (bb), то оно называется альтернативным кольцом (пример 11); если в К. выполняются равенства ab = ba, (ab) (аа) = ((аа) b) a, то оно называется йордановым кольцом (пример 12); если в К. выполняются равенства а (bc) + b (ca) + с (аb) = 0, aІ = 0, то оно называется кольцом Ли (пример 13); если ab = ba, то К. называют коммутативным (примеры 1-8, 12).
Операции сложения и умножения в К. во многом похожи по своим свойствам на соответствующие операции над числами. Так, элементы К. можно не только складывать, но и вычитать; существует элемент 0 (нуль) с обычными свойствами; для любого элемента а существует противоположный, т. е. такой элемент -а, что а + (-a) = 0; произведение любого элемента на элемент 0 всегда равно нулю. Однако на примерах 8-9, 12-13 можно убедиться, что К. может содержать отличные от нуля элементы а, b, произведение которых равно нулю: ab = 0; такие элементы называют делителями нуля. Ассоциативное коммутативное К. без делителей нуля называют областью целостности (примеры 1-7). Так же, как и в области целых чисел, не во всяком К. возможно деление одного элемента на другой, если же это возможно, то есть если всегда разрешимы уравнения ax = b и уа = b при а ≠0, то К. называют телом (примеры 3-5, 10, 11).
Ассоциативное коммутативное тело принято называть полем (примеры 3- 5) (см. Поле алгебраическое). Весьма важны для многих отделов алгебры К. многочленов с одним или несколькими переменными над произвольным полем и К. матриц над ассоциативными телами, определяемые аналогично К. примеров 7 и 9. Многие классы К. всё чаще находят приложения и вне алгебры. Важнейшими из них являются: К. функций и К. операторов, сыгравшие большую роль в развитии функционального анализа; альтернативные тела, применяемые в проективной геометрии; так называемые дифференциальные К. и поля, отразившие интересную попытку применить теорию К. к дифференциальным уравнениям.
При изучении К. большое значение имеют те или иные способы сличения друг с другом различных К. Одним из наиболее плодотворных является гомоморфное отображение (гомоморфизм), т. е. такое однозначное отображение R→R кольца R на кольцо R, что из а
→ a, b →b следует а + b → a +b и ab → ab. Если это отображение также и взаимно однозначное, то оно называется изоморфизмом, а кольца R и R изоморфными. Изоморфные К. обладают одинаковыми алгебраическими свойствами.
Множество М элементов кольца R называют подкольцом, если М само является К. относительно операций, определённых в R. Подкольцо М называют левым (правым или двусторонним) идеалом кольца R, если для любых элементов т из М и r из R произведение rm (соответственно mr или как rm, так и mr) лежит в М. Элементы а и b кольца R называют сравнимыми по идеалу М, если а - b принадлежит М. Всё К. разбивается на классы сравнимых элементов - классы вычетов по идеалу М. Если определить сложение и умножение классов вычетов по двустороннему идеалу М через сложение и умножение элементов этих классов, то сами классы вычетов образуют К. - фактор кольцо R/M кольца R по идеалу М. Имеет место теорема о гомоморфизме К.: если каждому элементу К. поставить в соответствие содержащий его класс, то получают гомоморфное отображение кольца R на факторкольцо RM; обратно, если R гомоморфно отображается на R, то множеством элементов из R, отображающихся в нуль кольца R, будет двусторонним идеалом в R, и R изоморфно R/M.
Среди различных типов К. легче других поддаются изучению и сравнительно чаще находят приложение так называемые алгебры: кольцо R называют алгеброй над полем Р, если для любых α из P и r из R определено произведение αr также из R, причём (α + β) r = αr + βr, α(r + s)= αr + αs, (αβ) r = α(βr), α(rs) = (αr) s = r (αs),
εr = r для любых α, β из P и r, s из R, где ε - единица поля P. Если все элементы алгебры линейно выражаются через n линейно независимых элементов (см. Линейная зависимость), то R называют алгеброй конечного ранга n, или гиперкомплексной системой (см. Гиперкомплексные числа). Примерами алгебр могут служить комплексные числа (алгебра ранга 2 над полем действительных чисел), полное К. матриц с элементами из поля Р (которое является алгеброй ранга nІ над P), К. примера 10 (алгебра ранга 4 над полем действительных чисел), К. примера 8 и др.
Для целых чисел и К. многочленов справедлива теорема об однозначной разложимости элемента в произведение простых, т. с. далее не разложимых элементов. Эта теорема верна для любых К. главных идеалов, то есть областей целостности, в которых любой идеал состоит из кратных одного элемента. Частным случаем таких К. являются евклидовы К., то есть К., где любому элементу а ≠ 0 соответствует неотрицательное целое число n (a), причём n (ab) ≥ n (a) и для любых а и b ≠ 0 существуют такие q и r, что а = bq +r и либо n (r)Таковы, например, К. многочленов и К. примеров 1 и 6. Для широкого класса К. верна теорема об однозначном разложении Идеала в произведение простых идеалов, хотя для самих элементов она не выполняется. Основы теории разложения идеалов и абстрактных К. были заложены Э. Нётер (в 20-х гг. 20 в.).
Одним из первых в России теорией К. занимался Е. И. Золотарёв (70-е гг. 19 в.); его исследования относятся к числовым К., а именно - к теории разложения идеалов в них. В Советском Союзе теория К. разрабатывается в основном в трёх центрах: Москве, Новосибирске и Кишиневе.
Лит.: Курош А. Г., Курс высшей алгебры, 9 изд., М., 1968; Энциклопедия элементарной математики, кн. 1, М. - Л., 1951; Ван-дер-Варден Б. Л., Современная алгебра, пер. с нем., 2 изд., ч. 1-2, М. - Л.,1947; Джекобсон Н., Строение колец, пер. с англ., М., 1961; Ленг С., Алгебра, пер. с англ., М., 1968.
Кольцеобразный
Кольцо
Кольцо Биржевое
