Аксиоматический Метод

Аксиоматический Метод в Энциклопедическом словаре:
Аксиоматический Метод - способ построения научной теории в виде системыаксиом (постулатов) и правил вывода (аксиоматики), позволяющих путемлогической дедукции получать утверждения (теоремы) данной теории.

Значение слова Аксиоматический Метод по Логическому словарю:
Аксиоматический Метод -  - способ построения научной те­ории, при котором какие-то положения теории избираются в каче­стве исходных, а все остальные ее положения выводятся из них чисто логическим путем, посредством доказательств. Положения, доказываемые на основе аксиом, называются теоремами. А. м. — особый способ определения объектов и отношений меж­ду ними (см.: Аксиоматическое определение). А. м. используется в математике, логике, а также в отдельных разделах физики, биологии и др. А. м. зародился еще в античности и приобрел большую извес­тность благодаря «Началам» Евклида, появившимся около 330 — 320 гг. до н. э. Евклиду не удалось, однако, описать в его «аксио­мах и постулатах» все свойства геометрических объектов, исполь­зуемые им в действительности; его доказательства сопровожда­лись многочисленными чертежами. «Скрытые» допущения гео­метрии Евклида были выявлены только в новейшее время Д. Гиль­бертом (1862-1943), рассматривавшим аксиоматическую теорию как формальную теорию, устанавливающую соотношения между ее элементами (знаками) и описывающую любые множества объек­тов, удовлетворяющих ей. Сейчас аксиоматические теории нередко формулируются как формализованные системы, содержа­щие точное описание логических средств вывода теорем из акси­ом. Доказательство в такой теории представляет собой последова­тельность формул, каждая из которых либо является аксиомой, либо получается из предыдущих формул последовательности по одному из принятых правил вывода. К аксиоматической формальной системе предъявляются тре­бования непротиворечивости, полноты, независимости системы ак­сиом и т. д. a.m. является лишь одним из методов построения научного зна­ния. Он имеет ограниченное применение, поскольку требует высо­кого уровня развития аксиоматизируемой содержательной теории. Как показал известный математик и логик К. Гёдель, достаточ­но богатые научные теории (напр., арифметика натуральных чи­сел) не допускают полной аксиоматизации. Это свидетельствует об ограниченности a.m. и невозможности полной формализации научного знания (см.: Гёделя теорема).

Определение «Аксиоматический Метод» по БСЭ:
Аксиоматический метод - способ построения научной теории, при котором в её основу кладутся некоторые исходные положения (суждения) - аксиомы, или Постулаты, из которых все остальные утверждения этой науки (теоремы) должны выводиться чисто логическим путём, посредством доказательств. Назначение А. м. состоит в ограничении произвола при принятии научных суждений в качестве истин данной теории. Построение науки на основе А. м. обычно называется дедуктивным. Все понятия дедуктивной теории (кроме фиксированного числа первоначальных) вводятся посредством определений, выражающих (или разъясняющих) их через ранее введённые понятия. В той или иной мере дедуктивные доказательства, характерные для А. м., применяются во многих науках. Но, несмотря на попытки систематического применения А. м. к изложению философии (Б. Спиноза), социологии (Дж. Вико), политической экономии (К. Родбертус-Ягецов), биологии (Дж. Вуджер) и др. наук, главной областью его приложения до сих пор остаются математика и символическая логика, а также некоторые разделы физики (механика, термодинамика, электродинамика и др.).
А. м прошёл в своём историческом развитии 3 стадии. Первая связана с построением геометрии в Древней Греции. Основное сочинение этого периода - «Начала» Евклида (хотя, по-видимому, и до него Пифагор, которому приписывается открытие А. м., а затем Платон и его ученики немало сделали для развития геометрии на основе А. м.). В то время считалось, что в качестве аксиом должны выбираться суждения, истинность которых
«самоочевидна», так что истинность теорем считалась гарантированной безупречностью самой логики. Но Евклиду не удалось ограничиться чисто логическими средствами при построении геометрии на основе аксиом. Он охотно прибегал к интуиции в вопросах, касающихся непрерывности, взаимного расположения и равенства геометрических объектов. Впрочем, во времена Евклида такие обращения к интуиции могли и не восприниматься как выход за пределы логики - прежде всего потому, что сама логика не была ещё аксиоматизирована (хотя частичная формализация логики, осуществленная Аристотелем и его последователями, и была некоторым приближением к аксиоматизации). Не было и достаточной отчётливости во введении первоначальных понятий и при определении новых понятий.
Начало второй стадии в истории А. м. связывают обычно с открытием Н. И. Лобачевским, Я. Больяй и К. Ф. Гауссом возможности построить непротиворечивым образом геометрию, исходя из систем аксиом, отличной от евклидовой. Это открытие разрушило убеждение в абсолютной
(«очевидной» или «априорной») истинности аксиом и основанных на них научных теорий. Теперь аксиомы стали пониматься просто как исходные положения данной теории, вопрос же об их истинности в том или ином смысле (и выбор в качестве аксиом) выходит за рамки аксиоматической теории как таковой и относится к её взаимоотношению с фактами, лежащими вне её. Появилось много (и притом различных) геометрических, арифметических и алгебраических теорий, которые строились средствами А. м. (работы Р. Дедекинда, Г. Грасмана и др.). Эта стадия развития А. м. завершилась созданием аксиоматических систем арифметики (Дж. Пеано, 1891), геометрии (Д. Гильберт, 1899), исчисления высказываний и предикатов (А. Н. Уайтхед и Б. Рассел, Англия, 1910) и аксиоматической теории множеств (Э. Цермело, 1908).
Гильбертовская аксиоматизация геометрии позволила Ф. Клейну и А. Пуанкаре доказать непротиворечивость геометрии Лобачевского относительно евклидовой геометрии посредством указания интерпретации понятий и предложений неевклидовой геометрии в терминах геометрии Евклида, или, как говорят, построения модели первой средствами второй. Метод моделей (интерпретаций) стал с тех пор важнейшим методом установления относительной непротиворечивости аксиоматических теорий. В то же время со всей отчётливостью выявилось, что, кроме
«естественной» интерпретации (т. е. той, ради уточнения и развития которой данная теория строилась), у аксиоматической теории могут быть и др. интерпретации, причём её можно с равным основанием считать «говорящей» о каждой из них.
Последовательное развитие этой идеи и стремление точно описать логические средства вывода теорем из аксиом привели Гильберта к концепции формального А. м., характерной для третьей, современной его стадии. Основная идея Гильберта - полная формализация языка науки, при которой её суждения рассматриваются просто как последовательности знаков (формулы), не имеющие как таковые никакого смысла (который они приобретают лишь при некоторой конкретной интерпретации). Это относится и к аксиомам - как общелогическим, так и специфическим для данной теории. Для вывода теорем из аксиом (и вообще одних формул из других) формулируются специальные правила вывода (например, т. н. правило modus ponens - «правило зачёркивания», позволяющее получить В из A и «А влечёт В»).
Доказательство в такой теории (исчислении, или формальной системе) - это просто последовательность формул, каждая из которых либо есть аксиома, либо получается из предыдущих формул последовательности по какому-либо правилу вывода. В отличие от таких формальных доказательств, свойства самой формальной системы в целом обсуждаются - а иногда их удаётся и доказать - содержательными средствами т. н. метатеории, т. е. теории, рассматривающей данную
(«предметную») теорию как предмет изучения. На языке метатеории (метаязыка) формулируются и правила вывода предметной теории. По замыслу Гильберта, в рамках созданной им теории доказательств, т.е. допуская в метатеории только т. н. финитные способы рассуждения (не использующие ссылки ни на какие объекты, не имеющие конечного построения), можно было бы доказать непротиворечивость и полноту всей классической математики (т. е. доказуемость каждой формулы, истинной при некоторой определённой интерпретации). Несмотря на ряд значительных результатов в этом направлении, гильбертовская программа в целом (её обычно называют формализмом) невыполнима, т. к., согласно важнейшему результату К. Гёделя(1931), всякая достаточно богатая непротиворечивая формальная система непременно неполна (т. н. теорема о неполноте). Теорема Гёделя свидетельствует об ограниченности А. м. (хотя определённые расширения допускаемых метатеоретических средств и позволили немецкому математику Г. Генцену, П. С. Новикову и др. математикам получить доказательство непротиворечивости формализованной арифметики).
А. м. подвержен также критике, исходящей из различных семантических (см. Логическая семантика) критериев. Так, интуиционисты (Л. Э. Я. Брауэр, Г. Вейль и др.) не признают обоснованности в применении к бесконечным множествам принципа исключенного третьего (см. Исключённого третьего принцип) между тем этот принцип не только берётся в качестве логической аксиомы в большинстве формальных теорий, но и используется по существу (хотя и неявно) в основных предпосылках гильбертовской программы, согласно которой непротиворечивость теории - достаточное условие её «истинности».
Как и интуиционизм, конструктивное направление в математике (в СССР - А. А. Марков и Н. А. Шанин) считает назначением математики изучение не произвольных моделей непротиворечивых формальных систем, а лишь совокупностей объектов, допускающих в определённом смысле эффективное построение.
Ещё более существенные возражения против А. м. выдвигает ультраинтуиционистская критика, ставящая под сомнение единственность натурального ряда чисел и, тем самым, однозначную определённость понятия теоремы формальной системы. Согласно этой критике, А. м. основан на
«принципе локальности для доказательств», предполагающем, что если аксиомы истинны и правила вывода сохраняют истинность, то истинными непременно должны быть и теоремы. Т. о., интуитивное обоснование общеупотребительного принципа математической индукции, согласно ультраинтуиционистской критике, содержит неустранимый порочный круг. Ультраинтуиционизм, не ограничиваясь критикой, предлагает и положительную программу преодоления указанных трудностей.
Лит.: Начала Евклида, пер. с греч., [т. 1 - 3], М. - Л., 1948 - 50; Клини С. К., Введение в метаматематику, пер. с англ., М., 1957 (библ.); Новиков П. С., Элементы математической логики, М., 1959: Есенин-Вольпин А. С., Об аксиоматическом методе,
«Вопросы философии», 1959, № 7; Садовский В. Н., Аксиоматич. метод построения науч. знания, в кн.: Филос. вопросы совр. формальной логики, М., 1962; Hilbert D., Bernays P., Grundlagen der Mathematik, Bd 1 - 2, В., 1934 - 39.
Ю. А. Гастев, А. С. Есенин-Вольпин.

Аксиоматический    Аксиоматический Метод    Аксиоматическое Определение